宋元數學研究的復興、交流與互鑒

宋元數學研究的傳統在明代一度中斷，但在清代乾嘉以后卻成學界的研究熱點，其成果更被來華西人翻譯并傳播至歐洲。這個過程也折射出自明末西方傳教士來華以降，在東西方文明直接碰撞的歷史大背景下，中西數學文化交流與互鑒的重要一面。

明末清初傳入的西方天文學和數學

明清之際，西方的天文學、數學通過《崇禎歷書》（及其后續改訂的《西洋新法歷書》《新法算書》）、康熙“御定”的《數理精蘊》《歷象考成》等大型著作的編纂，取得了朝廷的正統地位。當時恰逢歐洲文藝復興，古典人文和科學著作的相關研究蔚然成風。西方傳教士因利乘便，除引進托勒密、第谷等幾何宇宙模型用以計算天文歷法以外，還以中文翻譯了《幾何原本》前六卷等古希臘數學經典。因而傳教士引入的西方數學是以幾何為主，這一數學分支以公理化為特點，即從幾個“不證自明”的公理出發，推導證明一系列的命題，形成一個完整的知識體系。

相比歷史悠久的幾何，代數是歐洲人從阿拉伯人那里學習到的，時間并不長，在康熙年間傳入中國，收入《數理精蘊》，被稱為“借根方”。即以假借根數、方數之意，相當于設未知數x和x的乘方。根據韓琦的研究，康熙帝晚年對傳教士不再完全信任，倡導“自立”精神，努力擺脫后者對歷算的把控。梅瑴成，“清朝算學第一”梅文鼎之孫，首先從詞源上解釋“借根方”的西名“阿爾熱巴達”（即代數algebra的音譯）為“東來法”，是宋元時期的“立天元一”法傳播到西域之后又再次傳回。

乾嘉學人對宋元數學典籍的發掘

現在我們知道，algebra源于阿拉伯語al-jabr，意為還原，即還原方程中的未知數。因而梅瑴成的詞源解釋是一個誤解，他只是根據明人偶爾提及的“立天元一”，從整體性質上推測出這是一種與“借根方”相類似的代數方法。“借根方”有沒有受到“立天元一”的影響，須廣泛考察、比較相關的中外文數學史料，至今還無法證明確有其事，但無論要證明抑或證偽，當時學者首先要解決獲得可讀可信的中文數學史料這一基礎問題。因為經歷了有明一代的沉寂，天算之學已成“絕學”，“立天元一”法具體是怎么樣的一種算法，當時并沒有人知曉。解決問題的轉折在于《四庫全書》的編纂，四庫館臣從《永樂大典》中輯出李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，證實了“立天元一”的確是一種建立一元高次方程求解的算法——天元術。四庫館臣又輯出秦九韶的《數書九章》（又名《數學九章》，以下簡稱“秦書”），并將“誤者正之，疏者辨之，顛倒者次序之，各加案語于下”，作出了初步?？?。

此外，遠在江南的乾嘉學者，也得以從四庫閣中抄出李、秦算書并加以比較研究，得到更深刻的結論。前有考據學大師錢大昕在《跋秦九韶數學九章》敏銳地指出秦書“有立天元一法，與李冶《測圓海鏡》所衍立天元一法本不甚同”。后有著名?？睂W家、目錄學家顧廣圻為揚州藏書家秦恩復覆算、校正其所藏趙琦美抄本的《數書九章》，準備刊刻出版。顧氏發現“其題問與術草不相應”，并認為秦九韶“大衍術非天元一法，未可以其有立天元一之語，遂以郭守敬及李冶所謂天元一者當之”，正確地指出了秦書所創大衍術雖然也有“立天元一”，但并不是李冶算書中的天元術。

顧廣圻雖然對秦書作了校正，但不知何故最終未能出版。不過，《數書九章》在稍后的1842年出版了迄今為止唯一的刻本（參見圖1），其出版過程顯示出乾嘉學人師徒友朋之間前后相繼為該書善本出版而作出的努力。上海巨富郁松年曾作序自述在刊刻《宜稼堂叢書》二種后，“益思得宋元人秘笈”，聽說“《數書九章》思精學博，大衍求一、正負開方兩術，尤為闡自古不傳之秘”，但刊刻出版仍然要面對校正錯漏的老問題。幸好之前李銳?？边^四庫本，沈欽裴?？边^張敦仁家藏的趙琦美本，因而沈欽裴弟子宋景昌得以在沈、李遺稿的基礎上作進一步的?？薄，F在我們看到宜稼堂叢書本《數書九章》附有署名宋景昌的《札記》，成為該書不可或缺的重要組成部分，實際上集合了沈欽裴、李銳和宋景昌等算學家的?？背晒?。

除秦書外，《宜稼堂叢書》還收入了南宋另一位數學家楊輝的著作六種，同樣附有札記。楊輝書四庫未收，阮元求訪三十年而未得，只因偶然機會得見《永樂大典》中有載，抄錄約百條；后來藏書家黃丕烈得到楊書散葉，與李銳一起排比整齊后，才得書六卷。朱世杰的《四元玉鑒》同樣是阮元在浙江時訪得；《算學啟蒙》則是其弟子羅士琳從琉璃廠書肆中得到的朝鮮翻刻本。

秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰等人撰寫的數學典籍，在經歷數百年的沉寂之后重見天日，應當歸功于乾嘉學者的發掘、整理和研究。除了乾嘉學派重視古典文獻考據的傳統以外，韓琦認為，西方數學特別是“借根方”的傳入，既為乾嘉學者提供了知識準備，同時也因“自立”精神的提倡刺激了宋元數學的復興。確實，乾嘉學者對這些宋元數學典籍的研究成果，展現了一個獨特而領先于同時代西方的代數學知識體系。這些數學（史）知識，也成為下一階段西方作中西數學比較互鑒時的重要素材。

19世紀中西數學文化的交流互鑒

在“借根方”傳入中國的康熙時代，西歐的數學得到革命性的突破。源于古希臘的幾何學傳統和來自東方印度與阿拉伯人的代數學傳統在歐洲碰撞交匯，合兩者之長的解析幾何、微積分等數學分支相繼發展，成為近代科學革命的重要基礎之一。正因為這一系列數學成就，19世紀的歐洲人頗為自負，就連印度—阿拉伯數碼和十進位值記數法也成為“現代”的標志。曾任香港總督的德庇時（John F. Davis）就批評“中文的數字寫得很長，不像阿拉伯數碼體系，數字的次冪根據數位十倍十倍地增加或減小”。這是因為他彼時只看過一般的中文古書，而沒有看到傳統算書，并不知道從算籌數字演化而來的民間商用數碼——跟印度—阿拉伯數碼一樣橫寫的蘇州碼子。

隨著鴉片戰爭后五口通商，19世紀50年代來華的英國漢學家偉烈亞力（Alexander Wylie）通過向中國學者學習并與他們合作翻譯外國數學著作，認識到前人對中國數學有著很深的誤解。于是他用英文撰寫了長篇論文《中國科學略記·算術》（“Jottings on the Science of the Chinese. Arithmetic”），加以糾正。該文在1852年的《北華捷報》（The North-China Herald）上共分9期連載：（1）緒論、數學在中國的起緣、7世紀前的算書；（2）7世紀到14世紀的算書；（3）數碼與基本算術運算、《九章算術》（上）；（4）《九章算術》（下）；（5）秦九韶大衍術（上）；（6）大衍術（下）；（7）天元術、開方術；（8）四元術、借根方、19世紀初的古算復興；（9）當時中國的數學研究、結語。其中，第（5）至第（8）共四期是宋元數學部分，占全文近一半的篇幅。通過中西比較，偉烈亞力發現秦九韶的開方術（參見圖2），相當于歐洲的高次數值方程解法——霍納法，認為“秦是我們發現的完整發展出解決復雜方程的第一人”。這一洞見，連同中國古代重要的數學典籍、數學家及其貢獻，以及數學在當時中國的發展情況，一并向西方世界作出介紹。該文有很大的反響，很快被譯成法、德等文字在歐洲學界廣泛傳播。

偉烈亞力之所以對中西數學比較互鑒這一課題感興趣，除了當時中國學者以研習宋元數學為一時風尚外，還受到英國“劍橋代數學派”的影響。該學派出現于19世紀上半葉，旨在將萊布尼茨的微積分符號引入劍橋大學，并建立起一個獨立于幾何學的新的代數學觀點。代表人物為第一代的巴貝奇（Charles Babbage）、皮考克（George Peacock）和第二代的德摩根（Augustus De Morgan）等。書寫數學的歷史是這一學派獨特的學術實踐之一，特別是皮考克和德摩根師徒二人。法國學者杜蘭德-理查德（Marie-José Durand-Richard）曾對皮考克有深入研究，指出后者曾為《大都會百科全書》（Encyclopaedia Metropolitana）中撰寫《算術》（Arithmetic）一文，當中詳細描寫比較了世界各個民族的算術—代數學史，并以此作為其學派主張——代數學是更為普適而根本的科學，而不僅僅是處理問題的巧妙手法——的主要論據。德摩根則為英國實用知識傳播學會（Society for the Diffusion of Useful Knowledge）主編的《便士百科全書》（Penny Cyclopaedia），撰寫了約850篇天文和數學詞條，當中也頗多涉及數學史，偉烈亞力在《略記》中多有引用。

此外，偉烈亞力認為中國古代的算術及其所衍生出的代數學是一門科學，彰顯了中國傳統數學特別是算術—代數學方面的智慧和成就，可以引導中國人進一步學習。因此，他后來與李善蘭一起翻譯德摩根的Element of Algebra為《代數學》。此后，源于阿拉伯語的algebra就被譯成“代數”。由此，我們可以看到一個有趣的數學知識環流：明清之際傳入的西方代數學“借根方”刺激了乾嘉學者對宋元數學典籍的發掘，進而為偉烈亞力等西方學者對中西數學文化作比較、交流和互鑒提供了可能，同時促進了更深入的代數學、微積分等最新數學分支的引入。（作者：陳志輝  內蒙古師范大學科學技術史研究院副教授）